matematicas: FUNCION RACIONAL

Las funciones racionales son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio distinto de cero. Para una única variable x una función racional se puede escribir como:

P (x)

f(x) = -------

Q (x)

donde P y Q son polinomios y x es una variable indeterminada siendo Q un polinomio no nulo. Existe la posibilidad de encontrar valores de x tales que Q(x) sea igual a cero. Por este motivo las funciones racionales están definidas en todos los números que no anulan el polinomio denominador, es decir, en el cuerpo de coeficientes menos una cantidad finita, que será igual al número de raíces reales del polinomio denominador. Una función racional está definida en todo el cuerpo de coeficientes si el polinomio denominador no tiene raíces reales.

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

ASINTOTA VERTICAL

Las asíntotas verticales son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas

OJO: No debe confundirse la condición de que una asíntota vertical no se toca o cruza, con el hecho, de que las funciones sí pueden cruzar o tocar una asíntota horizontal, pero eso lo explicare mas tarde.

Para que una función tenga una o varias asíntotas verticales, se tienen que cumplir las siguientes condiciones:

1.- En x = a, la función no está definida, o sea, x = a no es parte del dominio de la función. Por esto no la puede tocar.

2.- El límite cuando x tiende a "a" de la función no existe, pero tiene que haber una tendencia de la función hacia valores extremadamente grandes (infinito) ó extremadamente negativos (menos infinito). Puede darse el caso, de que acercándose por ambos lados al valor de x = a, la tendencia del valor de la función sean ambos infinitos ó ambos menos infinito.

ASINTOTA HORIZONTAL

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito).

Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales.

Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal.No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical.

Aquí se van a analizar funciones que presentan asíntotas horizontales:

1.- Desde el punto de vista funciones racionales sólo hay dos tipos que presentan asíntotas horizontales; las que tienen el grado del numerador igual o menor que el grado del denominador.

2.- También presentan asíntotas horizontales algunas funciones exponenciales así como algunas logarítmicas.

¿Como se determinan las asintota?

->Las asíntotas verticales se determinan de la siguiente manera:

Se determinan encontrando las raíces del denominador h(x) correspondiente. tales valores reciben el nombre de polos en la función. Entonces el numero de polo asociados en una función determinaran el numero de asíntotas verticales que tiene tal función.ejemplo:

f(x):=4x-4

Sabemos que en los casos en los cuales h(x)=0 , la función se indetermina es decir su valor se tiende a infinito.

x-4=0 ; es decir en: x=4

La recta x=4 es la asíntota de esta función, que es única , ya que el denominador es un termino lineal lo que implica que solamente en un valor se anula. En la siguiente gráfica correspondiente veremos que a medida en que x se aproxima a 4 el cociente aumenta indefinidamente.

->Las asintotas horizontales se determinan de la siguiente manera:

Se encuentran presentes únicamente en funciones racionales de la forma

f(x)=g(x)/h(x)

Y se determinan haciendo que la variable independiente “x” tienda al infinito lo que trae como consecuencia que la función cociente tienda a un valor determinado fijo , al que nunca va a llegar, ni mucho menos sobrepasar. Es decir que es la recta dada por el cociente de los coeficientes de grado mayor.

ejemplo:

f(x):=(4x+1)x-2

La asíntota vertical se encuentra en el polo de la función que en esta caso esta en:

X-2=0

X=2

Es decir, la recta x=2 es la asíntota vertical.

f(x):=(4x+1)x-2

La asíntota horizontal se encuentra en el cociente de los términos de mayor exponente como ya se indico. La recta y=4 es la asíntota horizontal como se muestra en la figura anterior.

¿Que es una discontinuidad?

Una discontinuidad es un punto de una función y=f(x) en la cual la misma sufre un "salto" o cambio "brusco" de valor. Se verifica una discontinuidad cuando el valor de la función en un punto difiere del límite de esa función cuando nos acercamos a ese punto por derecha y por izquierda.

Si alguna de las tres condiciones de continuidad no se cumple, la función es discontinua:

La función es discontinua porque no existe imagen

La función es discontinua porque no tiene límite.

La función es discontinua porque no coincide la imagen con el límite.

Ejemplos

a)- En este ejemplo tenemos la siguiente función.

f(X)=x+1/x-1

- Para poder determinar la asíntota vertical usamos el polinomio que esta como denominador, y lo igualamos a 0 y despejamos.

X-1=0 x=1

-Para obtener la asintonta horizontal usamos el grado superior de dominador y del numerador que en este caso los dos tienes x, así que agarramos los coeficientes del numerador y denominador.

f(x)=y=1/1

y=1