sábado, 25 de mayo de 2013

DIVISION SINTETICA

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.
Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:
Comenzamos dividiéndolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos . al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:
Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:
Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.
Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:
  1. Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
  1. Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón
  1. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.
  1. Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).
  1. Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.
  1. Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.
Ejemplos:
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coheficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coheficientes nesesarios para todos los exponentes.
Para generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo.  Para el uso de este método puede ser positivo o negativo.

 
Ejemplo:
Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios tales que: $P(x) = 4x^3+3x^2-5x+2; \, \, \, \, Q(x) = x-3$
Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir $P(x)$ por $Q(x)$: a) Usando el método (División larga) b) Usando división sintética
Solución:

a)
Por lo que al dividir $P(x)$ por $Q(x)$ se obtiene $4x^2+15x+40$ como cociente y 122 como residuo.

b) Usando división sintética, $P(x)$ se divide por $Q(x)$ de la siguiente manera:
Donde los números 4, 15 y 40 son los coeficientes del cociente y 122 el residuo de la división. Observe que, según la parte (a) de este ejercicio, los números obtenidos en la tercera fila son los coeficientes del cociente y el residuo, como se muestra en el esquema anterior. Los números representados en la primera fila son los coeficientes de $P(x)$ (dividendo) y el cero de $x-3$ (divisor). Los números representados en la segunda fila se obtienen de la siguiente forma:
12 es el producto de 4 y 3
45 es el producto de 15 y 3
120 es el producto de 40 y 3 Los números representados en la tercera fila se obtienen de la siguiente forma:
4 es el coeficiente de $x^3$ en $P(x)$
15 es la suma de 3 y 12
40 es la suma de -5 y 45
122 es la suma de 2 y 120 Ejemplo: Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios tales que: $P(x) = -8x^3+x^4-16+2x; \, \, \, Q(x) = x-8$.
Usando división sintética, determine el cociente y el residuo $R(x)$ que se obtiene al dividir $P(x)$ por $Q(x)$. Solución:

Ordenando $P(x)$ en forma desendiente de acuerdo a su grado, se obtiene:
$P(x) = x^4-8x^3+0x^2+2x-16$, y realizando la división se tiene:
Los números 1, 0, 0 y 2 son coeficientes del cociente. Y el número 0 es el residuo.
Por lo que $C(x) = x^3+0x^2+2x-16$ o sea $C(x) = x^3+2$ y Nota: Observe que al realizar la división sintética, tanto los coeficientes del dividendo que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, debem escribirse. Ejemplo: Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios tales que: $P(x) = x^3+x$ y $Q(x) = x+4$
Usando división sintética determine el cociente $C(x)$ y $Q(x)$. Solución: Como $P(x) = x^3+0x^2+x+0$ y el cero $x+4$ es -4 tenemos que:
Por lo tanto el cociente que se obtiene, al dividir $P(x)$ por $Q(x)$ es $x^2-4x+17$ y el residuo es -68. Ejercicio:

Para cada par de polinomios $A(x)$ y $B(x)$ que se definen acontinuación determine por división sintética el cociente y el residuo que se obtiene al dividir $A(x)$ por $B(x)$.
1.$A(x) = x^5-32; \, \, \, \, B(x) = x-2$
2.$A(x) = -7x^2+8x+5x^3+1; \, \, \, \, B(x) = x-3$
3.$A(x) = x^3+27; \, \, \, \, B(x) = x+3$
4.$A(x) = x^3-2-3x; \, \, \, \, B(x) = x+5$
5.$A(x) = x^4-x; \, \, \, \, B(x) = x+1$
6.$A(x) = 6-5x+4x^2; \, \, \, \, B(x) = x+2$
Ejemplo: Sea $P(x)$ un polinomio tal que: $P(x) = x^5-3x^4+8x^2-2$; usando división sintética determine $P(-2)$ y 

Solución:

Recuerde que $P(\alpha)$ es igual al residuo que se obtiene al dividir $P(x)$ por $x-\alpha$.
Efectuando las divisiones correspondientes se tiene:  
Ejercicio:

Sea $P(x)$ un polinomio tal que $P(x) = x^3-2x^2-9x+18$ Usando división sintética determine $P(1), \, \, P(2), \, \, P(-3), \, y \, P(-4)$.
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