FUNCIONES

Función Constante

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

para valores de a iguales:Y=8Y=4,2Y=-3,6

La función constante como un polinomio en x es de la forma
Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a.
El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales"Mientras que la imagen tan

solo va hacer el valor de a.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

FUNCION IDENTIDAD

Toda función lineal creciente de la forma f(x) = x, se llama función identidad y su gráfica es una línea recta que interseca a ambos ejes en el origen.

 

 FUNCION VALOR ABSOLUTO

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. 
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.
Veamos un ejemplo:






Otro ejemplo:

FUNCION INVERSA

Dada una función , se llama función inversa de y se denota por a otra función que para cualquier valor del dominio de se cumple que:
 

 
No todas las funciones tienen inversa, para que exista se tiene que cumplir que para cada valor del recorrido de f , proviene de un único valor del dominio .
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas con respecto a la recta y=x

Para calcular la función inversa:

a) Se cambian los nombres de e .

b) Se despeja la .

Ejercicio:

 Hallar la función inversa de y = 5x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

 

Resolución:

 

· Se intercambian ambas variables:

 

las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

 

Resolución:

incluido el cero.

 

 

 

La función inversa de  es y = x².

 

 

ƒ Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

 

Resolución:

· Se despeja x : x = -y + 4.

 

· Se intercambian ambas variables:

y = -x + 4.

 

La función dada coincide con su inversa.

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES DE ACUERDO A LA RELACION ENTRE DOMINIO Y RANGO

Funcion inyectiva (uno-uno)

Una funcion es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un solo elemento del dominio; es decir, de todos los pares (x,y) perteneciente a la funcion, las y no se repiten. En otras palabras una función es inyectiva si puntos diferentes del dominio tienen imagenes diferentes.

Funcion sobreyectiva o suryectiva
Sea f : A → B se dice que f es sobreyectiva si el rango de f es todo el conjunto B.

Funciones biyectiva
Se van a identificar cuando veamos que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas

FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS

Las funciones continuas son aquellas cuyas graficas se pueden trazar sin despegar el lapiz de la hoja del papel, mientras que las discontinuas por lo contrario presentan interrupciones, huecos o saltos, estas pueden ser en puntos o en ciertos intervalos.

FUNCION CONTINUA

Son aquellas gráficas que no presentan ningún punto aislado, saltos o interrupciones y que están hechas de un sólo trazo en un intervalo determinado son llamadas funciones continuas. 

FUNCION DISCONTINUA

Las gráficas que presentan algún punto aislado, saltos o interrupciones, es decir, que no están hechas de un sólo trazo en un intervalo determinado, son llamadas funciones discontinuas.

Dadas las funciones f y g continuas en x = a, se verifica que:

la función (f + g) (x) = f(x) + g(x) es continua en x = a.

la función (f - g) (x) = f(x) - g(x) es continua en x = a.

la función (f × g) (x) = f(x) × g(x) es continua en x = a.

la función (f / g) (x) = f(x) / g(x) es continua en x = a, siempre que g(a) ≠ 0.

Clasificacion de Funciones

CLASIFICACION DE FUNCIONES

POR SU GRAFICA:

• CONTINUA
• DISCONTINUA

POR LA FORMA DE SU ECUACION:

• ALGEBRAICAS
• Potenciales
• Polinominales
• Racionales
• Irracionales
• TRASCENDENTES
• Trigonometricas
• Trigonometricas inversas
• Exponenciales
• Logaritmicas

POR LA ASOCIACION ENTRE DOMINIO Y RANGO

• INYECTIVAS
• BIYECTIVAS
• SOBREYECTIVAS

Las funciones se clasifican en algebraicas y trascendentes. En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser: explícitas e implícitas. Son explícitas cuando se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

Ejemplo: f(x) = 5x – 2.
Y serán implícitas si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x - y - 2 = 0. En este caso hay que despejar primero la variable y.

A- Funciones Algebraicas
Las funciones algebraicas se clasifican en polinómicas, racionales y radicales a trozos.

1-Funciones polinómicas: Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +••• + an xn . Su dominio todo los números reales , es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones polinomiales especiales:

Funciones polinómica de primer grado f(x) = mx +n con m ≠ 0. Donde m es la pendiente y b la ordenada en el origen, el dominio son todod lo numeros reales.Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Ejemplo:










Funciones constantes: El criterio viene dado por un número real. f(x)= k. Es una función cuyo rango consta de un sólo número real.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.






Función identica: Es una función definida por f(x) = x, es decir el dominio de la función es igual al rango dela función. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen






-Funciones racionales : Es una función definida mediante el cociente de dos funciones polinomiales
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

-Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

OPERACIONES CON FUNCIONES

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

 

                                         

 

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

 

                                         

 

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

 

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

 

                                         

 

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

 

                                               

 

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

 

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

 

                                            

 

 

Ejercicio:

 Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.

 

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

 

Resolución:

 

· La función f + g se define como

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

 

· (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7

(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18

(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

 

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

 

Por ejemplo, para la imagen del 2,

                                                      

 

 

‚ Dadas las funciones f (x) = x² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

 

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

 

Resolución:

 

 

 

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

 

 

 

Resolución:

 

 

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

 

 

„ Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.

 

 

Resolución:

 

 

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

 

 

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

 

 

 

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.

 

Resolución: